Кость Воєвідка народився 5 липня 1891 року в Празі у родині Лева Воєвідки. Здобув медичну освіту, здобув ступінь доктора медицини.

Кость Воєвідка був не лише відважним вояком Коша УСС, але рятівником. При Коші також існував захист для недужих. Лікарями Коша були др. Іван Рихло, др. Кость Воєвідка у 1914 р., др. Володимир Білозор 1915 р. і 1917 р., др. Володимир Щуровський 1916 р. Згодом д-р Воєвідка організував шпиталь та навчав лікарсько-сестринські кадри для УПА.

У Леґіоні УСС з лютого 1915 року - головний лікар Коша УСС. Після реорганізації легіону на полк у 1916 році д-р Беляй в створив службу курінних лікарів полкового санітарного шефа. А йому на зміну прийшов д-р Кость Воєвідка.

З 1919 року д-р К. Воєвідка стає головою Місії Українського Червоного Хреста у Берліні з помічником сотником Луговенком. Завданням Місії було у першу чергу придбати для українських збройних сил в Україні медичне устаткування, медикаменти, одяг, білизну, постіль. Ліки купували безпосередньо на фармацевтичних фабриках Німеччини, або у Швейцарії. Важливим завданням українського Червоного Хреста також було і налагодження міжнародної співпраці, потенційний захист втікачів та полонених. Відтак, у листопаді 1919 року, після смерті А. Вязлова, головою Українського Червоного Хреста (УЧХ) знову призначений А. Оконенко. Однак з метою зв'язку з усіма представництвами УЧХ у державах Європи (Берліні, Женеві, Празі, Римі, Белграді, Бухаресті, Варшаві) та таборах полонених переселенців з України у західно-європейські держави, керівництво д-ра Оконенка переважно було за межами України, у Відні, де знаходився центральний офіс Червоного Хреста.

Для закордонного зв'язку були призначені д-ром Оконенком : д-р Борис Матяшенко до мирової делегації УНР в Парижі (для переговорів з антантськими потугами в справі допомоги Україні); д-р П. Холодний та д-р К. Воєвідка - до Берліну, д-р Вербинець - до Белграду, д-р Є Лукасевич - до Варшави; Д. Дорошенко призначений шефом для санітарної опіки до балканських держав, згодом до Бухаресту, а в січні 1921 виїхав до Відня. До Італії призначено урядом УНР О. Севрюка для репатріації звідтіля 100 тис. українських полонених.

20 січня 1918 р. командування Українського Січового Стрілецтва вирішило реорганізувати Галицько-Буковинський курінь Січових Стрільців у I Курінь Січових Стрільців, адже курінь уже став військовою одиницею всієї України, а не тільки Галичини і Буковини. При курені було створено Стрілецьку Раду, яка була дорадним органом при командирові куреня. У Стрілецьку Раду входили Євген Коновалець, Федь Черник, Андрій Мельник, Роман Сушко, д-р. Кость Воєвідка, Іван Чмола і Василь Кучабський – усі старшини УСС.

Також Кость Воєвідка був відомим та активним громадським діячем. У 1920 -х рр. у зв'язку із загостренням національного питання у Польщі, до складу якої входили на той час окуповані західноукраїнські землі, організовуються мисливські товариства, домінуючим чинником утворення яких була приналежність членів товариства до певної національної групи. Першим з них стало ловецьке товариство "Тур", до якого згодом вступає і д-р Кость Воєвідка. Українське мисливське товариство "Тур" засноване та знаходилося у Львові за адресою вул. Домініканська, 11. З 1937 р. товариство спільно із журналом "Новий час" організувало видання самостійного додатку "Ловецтво". Перший номер часопису вийшов 27 березня 1937 року, що стало початком української мисливської періодики. У Станіславові до заснування мисливського товариства "Ватра" українські мисливці належали до польського товариства "Губерт", головою був старший скарбовий радник Юліуш Сальвах. Основну частину членів товариства "Губерт" становили поляки і воно мало пропольську спрямованість. Саме тому 1925 році Кость Воєвідка засновує Станіславське ловецьке товариство "Ватра". За даними, які подано в Альманасі Станіславівської землі від 1975 року, Станиславівське українське ловецьке товариство «Ватра» з’явилось у 1932 році, хоча дані з Івано-Франківського державного архіву не підтверджують цієї дати. Існує документ, що статут товариства «Ватра» був прийнятий до відома воєводським урядом Станіславова ще 17 квітня 1925 року. Було зафіксовано, що місцем знаходження товариства є місто Станіславів, а емблемою є - олень.

Після війни проживав у Станіславі, де працював директором окружної лікарні (тоді було прийнято називати загальним шпиталем), яка була збудована у 1834 році та почала свою роботу 1842 році.

Поряд із медичною практикою Кость Воєвідка очолював повітовий осередок «Рідної школи». «Рідна Школа» — громадське товариство, що бере початки від 1881 р., коли у Львові було засновано Руське педагогічне товариство (у 1912 р. воно змінило назву на Українське педагогічне товариство (УПТ), а у 1926 р. — на Українське педагогічне товариство — Товариство «Рідна Школа»). Засновниками товариства були українські педагоги Анатоль Вахнянин, Омелян Ороновський, Омелян Партицький, Омелян Савицький, Роман Заклинський та інші українські громадські діячі. Основною місією товариства було збереження української школи за умов панування іноземних держав, виховання молодого покоління у любові до України та надання високоякісних знань для учнів. Разом із «Просвітою» та іншими громадськими організаціями товариство стало на шлях національного і духовного визволення українців Галичини.

Кость Воєвідка був добрим товаришем, компанійським та відважним чоловіком. Був добрим другом Осипа Сорохтея. Товаришував з військовими побратимами та колегами. "Нас післали до окопів під Куропатниками. Ми стояли на краю ліса і там нас отець [Юліан Фацієвич] часто відвідував. Бувало ходив по окопах, розмовляв з хлопцями, а в неділю в лісі відправляв Службу Божу і сповідав. Любили ми його всі за добре серце і веселу вдачу. Бувало вечорами приходив до землянок і тоді ми довго балакали, грали віста і попивали вино. Пригадую собі, що раз у сотника Василя Дідушка зібралися: Отець, д-р Кость Воєвідка, Осип Букшований і я ("себто Роман Купчинський) і грали віста. Нараз вдарила граната точно на нашу землянку. Затріщали балки, але не пустили, тільки земля посипалась на нас. Всі втихли і надслухували канонади, яка перенеслась від нас на право, на мадярів. Після довгої мовчанки промовив отець: «Добре, що келішки порожні, а то було б вино засмітилося", - пригадує Роман Купчинський.

У березні 1944 року Кость Воєвідка разом з дружиною та сином був розстріляний у Станіславі гестапівцями